<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 9 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          6 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2011 11 edio 
          Editora Scipione. 

          Quinta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627275-0

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
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          Freguesia do 
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          Tel. (11) 3990-1810
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<P>
                                I
 Sumrio

Quinta Parte

Captulo 7 -- Tratamento 
  da informao
 1- Estatstica: tabelas e 
  grficos :::::::::::::::::: 539
 Grficos do dia a dia: ao 
  sobre estatstica ::::::::: 572
 2- Variveis e 
  frequncias ::::::::::::::: 574
 3- Mdia aritmtica, 
  mediana e moda :::::::::::: 592

Captulo 8 -- Complementos 
  de lgebra
 1- Equaes 
  fracionrias :::::::::::::: 605
 2- Problemas :::::::::::::: 614

<211>
<P>
<tmat. medida c. 9>
<T+539>
Captulo 7 -- Tratamento da 
  informao

<212>
1- Estatstica: tabelas e 
  grficos 

  Desde a Antiguidade, os governos tm realizado censos para determinar o nmero de habitantes de suas naes. Usando os resultados dos censos, os governos determinavam quanto de imposto cobrariam de uma regio, quantos soldados seriam recrutados etc. Esses censos foram as primeiras atividades estatsticas da Histria. 
  Estatstica  o ramo da Matemtica que estuda os processos de obteno, organizao e anlise dos dados de uma pesquisa, bem como os mtodos de fazer predies com base nesses dados. Alguns dicionrios informam que a palavra estatstica foi criada a partir da palavra latina *status*, que significa *estado*; trata-se do 
<P>
estado, da situao de uma populao. 
  Veja, por exemplo, como estudos estatsticos sobre o crescimento populacional alteraram os prognsticos sobre a populao mundial: 

ONU v reduo no crescimento da 
  populao mundial 

  Previso de que o planeta teria 10 bilhes de pessoas at o fim do sculo pode ser alterada para 8 bilhes ou 9 bilhes. 
  Mulheres em todo o mundo esto optando por ter menos filhos, contradizendo previses de que a populao mundial chegaria a 10 bilhes at o fim do sculo XXI, afirmou um estudo da ONU. Segundo o estudo da Diviso de Populao da ONU, as implicaes da alterao seriam enormes. Governos usam projees populacionais para planejar desde polticas de Previdncia Social at oramentos de escolas. Se o estudo estiver correto, a populao mundial pode diminuir, ainda que no neste sculo. 
  Uma das principais causas do declnio da fecundidade seria a disseminao do uso de mtodos contraceptivos. Desde 1965, a fecundidade mundial diminuiu de 5 para 2,7. Segundo a ONU, a taxa brasileira entre 1995 e 2000 foi de 2,3 filhos por mulher. 

<R+>
_`[{grfico "Grandes saltos", adaptado em forma de tabela de duas colunas. Contedo a seguir_`]

  A humanidade levou milhares de anos para atingir o primeiro 
  bilho e menos de dois sculos para chegar aos 6 bilhes 
  (em nmero de pessoas).
<P>
<F->
  Ano  l Populao
  ::::::r:::::::::::
  1804 l 1 bilho
  1927 l 2 bilhes
  1960 l 3 bilhes
  1974 l 4 bilhes
  1987 l 5 bilhes
  1999 l 6 bilhes
<F+>

*Folha de S. Paulo*, So 
  Paulo, 13 mar. 2002. Folha Mundo, p. A-10. Texto adaptado. 
<R->
 
<213>
  Tabelas e grficos so teis na apresentao de dados estatsticos porque permitem que se entenda mais rapidamente o fenmeno em estudo. Geralmente trazem um ttulo, informando o que est sendo pesquisado, e uma fonte, indicando que entidade promoveu a pesquisa. 
  A tabela a seguir apresenta o crescimento populacional do 
 Brasil no perodo de 1872-2008. 
<P>
Crescimento da populao 
  brasileira no perodo 
  1872-2008

<F->
Ano  l Populao absoluta
::::::r::::::::::::::::::::
1872 l 9.930.478
1890 l 14.333.915
1900 l 17.318.556
1920 l 30.653.605
1940 l 41.165.289
1950 l 51.941.767
1960 l 70.070.457
1970 l 93.139.037
1980 l 119.002.706
1991 l 147.053.940
1995 l 161.400.000
2000 l 169.872.856
2008 l 187.752.715
<F+>

<R+>
Fonte: IBGE, Diretoria de pesquisas. Coordenao de Populao e Indicadores Sociais.
<R->
<P>
  Em apenas trinta anos, no perodo de 1950-1980, a populao brasileira mais que dobrou: passou de 51,9 para 119 milhes de pessoas (133% de aumento no perodo). Entre 1940 e 1980, a populao quase triplicou: passou de 41 para quase 120 milhes. 
  Essa bomba humana, conhecida pelo nome de exploso demogrfica, no foi privilgio do Brasil. No perodo ps-Segunda Guerra Mundial, ela atingiu todo o Terceiro Mundo. De 1940 a 1980, a populao mundial mais que dobrou: passou de 2 bilhes para quase 4,5 bilhes de pessoas `(125% de aumento`). Cerca de 90% desse aumento coube ao Terceiro Mundo. 
<P> 
Grfico de colunas

<R+>
_`[{grfico "Os principais poluidores" -- Emisso de {c{o; 
  `(bilhes de toneladas por ano`); adaptado em forma de tabela. 
  Abaixo, h informao sobre a emisso *per capita* dos pases. A seguir o contedo do grfico_`]
<R->

<F->
  Pas       l Emiso de {c{o;
  ::::::::::::r:::::::::::::::::
  EUA       l 1,49 
  China      l 0,92 
  Rssia     l 0,39
  Japo      l 0,32 
  ndia      l 0,28 
  Alemanha   l 0,23 
  Inglaterra l 0,14 
  Canad     l 0,13 
  Coreia do  l
  Sul        l 0,12 
  Itlia     l 0,11 
  Ucrnia    l 0,10
<F+>
<P>
<R+>
Maiores emisses *per capita* (toneladas por ano)
<R->

<F->
  Pas       l Emiso de {c{o;
  ::::::::::::r:::::::::::::::::
  EUA       l 5,48 
  China      l 0,76 
  Rssia     l 2,65
  Japo      l 2,51 
  ndia      l 0,29 
  Alemanha   l 2,77 
  Inglaterra l 2,41 
  Canad     l 4,42 
  Coreia do  l
  Sul        l 2,55 
  Itlia     l 1,94 
  Ucrnia    l 1,97
<F+>

*Jornal da Tarde*, So Paulo, 
  16 fev. 2002. Caderno 
  A, p. 11.
<F+>

  O grfico anterior apresenta 
 os pases que mais poluem o mundo por emisso de {c{o; o dixido 
 de carbono, causador do efeito 
 estufa. 
<214>
  Nos grficos de colunas, os 
 dados so representados por re-
 tngulos com bases de mesma me-
 dida e alturas proporcionais 
 aos nmeros obtidos na pesquisa. Assim, os Estados Unidos, pas que mais polui por emisso de {c{o; contribuem anualmente com 1,49 bilho de toneladas, ou 1.490.000.000, seguido pela 
 China, com a emisso anual de 920 milhes de toneladas. 
  Abaixo do grfico da pgina 546 temos informaes sobre a emisso *per capita* (por pessoa). Os Estados Unidos, que tm menos de 5% da populao do planeta, contribuem com 25% da produo dos gases causadores do efeito estufa. A emisso *per capita* nos Estados Unidos  de 5,48 toneladas de {c{o; por ano, seguida pelo Canad, com 4,42 toneladas de {c{o; por ano. Por outro lado, a China e a ndia, pases muito populosos, apresentam os menores ndices de emisso de {c{o; *per capita* em relao aos pases mencionados no grfico. 
  Todas essas informaes foram coletadas em 2002, mas at 2006 no haviam sido alteradas. 

Grfico de segmentos 

  O grfico de segmentos tambm  conhecido como grfico de linhas. Observe a seguir dois grficos de segmentos: um indica o aumento da temperatura mundial em graus 
 Celsius e outro, o aumento da concentrao de gs carbnico na atmosfera. 

<R+>
_`[{grfico "Temperatura cresce com a concentrao de gs carbnico `({c{o;`)", no adaptado_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<215>
  No sculo passado, a tempe-
 ratura mdia mundial subiu de 13,88}{c em 1899-1901 para 14,45}{c em 1999-2001, aumento de 0,57}{c. Dois teros desse aumento -- mais de 0,4}{c -- ocorreram nas duas ltimas dcadas. 
  O aumento de temperatura nas dcadas recentes segue de perto a alta da concentrao na atmosfera de {c{o; o principal gs do aquecimento global [confira no grfico da p. 546. Nos dois primeiros sculos da Revoluo Industrial, de 1760 a 1960, os nveis atmosfricos de {c{o; subiram de estimadas 277 partes por milho `(ppm`) para 317 ppm, 40 ppm a mais. De 1960 a 2001, porm, subiram de 317 ppm para 371 ppm, um ganho de 54 ppm. Esse aumento na acelerao nas dcadas recentes tem correspondncia estreita com o crescimento da queima de combustveis fsseis nesse perodo. 
  O aumento de temperatura provoca o derretimento das geleiras e, como consequncia, aumento no nvel do mar. O aquecimento da Terra tambm est deflagrando mudanas generalizadas nos ecossistemas. 
   preciso que a humanidade mude as tecnologias da gerao de energia. A queima de combustveis fsseis deve ser trocada por outras formas de gerao de energia. J! 

<R+>
*Folha de S. Paulo*, So 
  Paulo, 22 dez. 2001. 
<R->

  Nos dois grficos de segmentos _`[no adaptados_`], os dados correspondentes a cada ano so indicados por pontos no eixo vertical. Depois, esses pontos so unidos por uma linha. 

Grfico de barras 

  Um grfico de barras  um grfico de colunas colocado na horizontal. 
  O grfico a seguir, com dados de 2003 da Organizao Mundial do Comrcio (OMC), mostra os principais exportadores de roupas e tecidos. Nesse ano, a China liderava o setor e, ao que parece, esse pas vem aumentando cada vez mais sua vantagem sobre os outros. 

<R+>
_`[{grfico "Principais exportadores" -- Em US$ bilhes, dados de 2003. Adaptado em forma de tabela de duas colunas; contedo a seguir_`]

<F->
  1 coluna: Principais exportadores
  2 coluna: dados de 2003 (txtil e vesturio)

<F->
  1        l 2
  :::::::::::r:::::::
  China     l 117,3
  UE       l 45,4
  Asean     l 26,5
  EUA      l 16,5
  Turquia   l 15,2
  Coreia do l 
  sul        l 13,7
  ndia     l 13,0

  China: inclui Hong Kong e Macau.
  UE: no inclui o comrcio entre os 15 pases da UE.
  Asean: Camboja, Indonsia, Malsia, Filipinas, Cingapura, Tailndia e Vietn.
<F+>
<R->

Organizao Mundial do 
  Comrcio. 2003. 

<216>
Grfico de setores 

  O grfico de setores a seguir mostra de onde vm as latas de alumnio que so recicladas em nosso pas. A medida do ngulo central correspondente a cada setor do crculo  proporcional ao dado representado. O Brasil  o pas que mais recicla latas de alumnio. Isso  bom porque evita desperdcio e poluio do meio ambiente, alm de dar sustento a muita gente que vive da coleta de latinhas para reciclar. 
<P>
<R+>
_`[{grfico "Os coletores" -- 
  Base: ano 2000=103 mil toneladas `(em %`). Adaptado em forma de tabela de duas colunas; contedo a seguir_`]

  1 coluna: Os coletores
  2 coluna: Porcentagem

<F->
  1            l 2
  :::::::::::::::r:::::::
  Cooperativas  l 43
  Depsitos     l 19
  Condomnios   l 10
  Eventos       l 12
  Escolas       l 9
  Supermercados l 7
<F+>

*Gazeta Mercantil*, So Paulo, 16 abr. 2003. p. C-2. 

Atividades 

1. (Saresp) Foi perguntado a um total de 100 pessoas em uma cidade se frequentavam cinema e 
<P>
  se frequentavam teatro. A tabela a seguir resume o resultado dessa pesquisa. 

<F->
                 !:::::::::::
                 l  cinema   _
                 r:::::!:::::w
                 l sim l no _         
  !::::::::!:::::r:::::r:::::w
  l teatro l sim l 52 l 8  _
  l        r:::::r:::::r:::::w
  l        l no l 36 l 4  _
  h::::::::h:::::h:::::h:::::j 
<F+>

  Se os dados dessa pesquisa forem transportados para o grfico a seguir, a coluna *d* deve representar o nmero de pessoas que:

<F->
Legenda:
  A: Pessoas que ...
  B: Pessoas que ...
  C: Pessoas que ...
  D: Pessoas que ...
<P>

    l
    l  
    l    
    l    
    l      
  --v--------
    l  A  B  C  D
<F+>

a) frequentavam teatro e no frequentavam cinema. 
 b) frequentavam cinema e no frequentavam teatro. 
 c) frequentavam cinema e teatro. 
 d) no frequentavam nem cinema nem teatro. 

<217>
_`[{para as atividades de 2 a 4, pea orientao ao professor_`]

2. (Saresp) O aquecimento global traz graves consequncias ecolgicas. O aumento da temperatura dos oceanos, por exemplo, coloca em risco a flora e a fauna marinha. O grfico _`[no adaptado_`] mostra como vem aumentando a temperatura dos oceanos desde 1860 e a projeo para os prximos anos. Considerando que a temperatura crtica para a sobrevivncia dos corais  de 29}C podemos afirmar que, segundo essa projeo, essa temperatura ser atingida: 
 a) entre os anos de 1950 
  e 2000. 
 b) entre os anos de 2000 
  e 2050. 
 c) entre os anos de 2050 
  e 2100. 
 d) aps o ano de 2100.

3. Quando mencionamos grficos de segmentos, na pgina 548 
  _`[no adaptado_`], apresentamos dois grficos superpostos que tratam do aquecimento global e da emisso de gs carbnico. Examine os grficos e o texto que os acompanha e depois responda: 
 a) Esses grficos sugerem que 
  h relao entre emisso de 
  gs carbnico e aquecimento do 
<P>
  planeta. Qual  a relao sugerida? 
 b) O aquecimento global poderia acabar com as praias de nosso pas! Voc consegue explicar por qu? 
 c) Como seria possvel reduzir a emisso de gs carbnico em nosso planeta?

4. Existem desastres naturais que parecem inevitveis, como terremotos, furaces etc. Entretanto, alguns cientistas acham que o efeito estufa e o aquecimento do planeta esto aumentando o nmero de desastres naturais, principalmente de grandes furaces. Um encontro sobre clima, do qual participaram vrios pases, divulgou estes dados: 
<P>
_`[{tabela adaptada em duas colunas. Contedo a seguir_`]

<F->
  1 coluna: Dcada
  2 coluna: Nmeros de desastres naturais


  1     l 2 
  ::::::::r::::
  1950   l 13
  1960   l 16
  1970   l 29
  1980   l 44
  1990   l 72
<F+>

*Veja*. So Paulo: Abril, 22 dez. 2004. (Adaptada)  

a) Construa um grfico de segmentos com os dados da tabela. No eixo horizontal, marque as dcadas `(1950, 1960, 1970 etc.`) com 2 cm entre uma marcao e outra. No eixo vertical, marque o nmero de acidentes `(10, 20, 30 etc.`) com 1 cm entre uma marca e outra. 
  Ateno: dcada de 1950, por exemplo, corresponde aos anos de 1950 a 1959. 
 b) D um ttulo adequado a seu grfico. Abaixo dele, escreva a sentena a seguir e complete-a. "Este grfico mostra..."

5. O diagrama seguinte mostra dados sobre a explorao de 
  madeira da Floresta Amaznica, colhidos pela organizao no governamental Instituto do 
  Homem e Meio Ambiente da 
  Amaznia (Imazon). Com base nos dados, responda s questes.

_`[{diagrama "Desperdcio e ilegalidade". Contedo a seguir_`]

<F->
  Ilegais -- 89%
  Legais, mas predatrios (no cumprem o plano de manejo)
  -- 10%
  Legal e no predatrio -- 1%
<P>
  Dois teros da madeira so desperdiados: 35% so vendidos; 22% viram carvo; 43% viram lixo.
<F+>

*Veja*. So Paulo: Abril, 9 jun. 1999. p. 186. Adaptada.

a) Qual a porcentagem exata de madeira desperdiada? 
 b) De acordo com o diagrama,  correto dizer que aproximadamente 9 de cada 10 rvores so abatidas de forma ilegal? 

<218>
6. Um pas recebe dinheiro de outros pases quando exporta seus produtos, e gasta seu dinheiro quando importa produtos de outros pases. O valor exportado menos o importado  o saldo comercial do pas. Veja o saldo do Brasil de 2000 a 2004. 
<P>
_`[{grfico de segmentos "Perodo entre janeiro e dezembro `(US$ bilhes`)" adaptado em forma de tabela de trs colunas; contedo a seguir_`]

  1 coluna: Ano
  2 coluna: Exportao
  3 coluna: Importao

<F->
  1   l 2     l 3
  ::::::r:::::::::r::::::::
  2000 l 55,086 l 55,839
  2001 l 58,223 l 55,837
  2002 l 60,362 l 47,240
  2003 l 73,084 l 48,291 
  2004 l 96,475 l 62,779
<F+>

*Brasil*. Ministrio do 
  Desenvolvimento, Indstria e Comrcio Exterior. Braslia, 2004.

a) Em que ano nosso saldo foi negativo? Por qu? 
 b) O saldo de 2004 foi positivo ou negativo? Qual seu valor? 

Pensando em casa

_`[{para as atividades de 7 a 12, pea orientao ao professor_`]

7. O site de uma revista de circulao nacional na internet promove pesquisas de opinio pblica. Em uma delas, o tema foi: "O que as pessoas mudariam na vida profissional se pudessem voltar no tempo". Os dados foram apresentados na forma de um grfico de setores. 

_`[{grfico de setores adaptado: crculo dividido em quatro partes de cores e tamanhos diferentes. Contedo a seguir_`]

<F->
  59% estudariam mais
  20% escolheriam outra carreira
  14% abririam um negcio prprio
<P>
  7% trocariam de rea na mesma profisso
<F+>

*Veja*. So Paulo: Abril, 
  5 fev. 1999. p. 33. 

  De acordo com o grfico, 
  responda: 
 a) Mais da metade das pessoas optou por uma resposta bem interessante. Qual  essa resposta? 
 b) Escolheriam outra carreira 20% das pessoas que responderam  pesquisa. Qual  a medida do ngulo central correspondente a esse setor do crculo? 
 c) Suponha que 3.000 pessoas tenham respondido  pesquisa. Dessas, quantas optaram por abrir um negcio prprio? 
 d) O ngulo do setor responsvel por 59% das respostas no  um ngulo convexo porque mede mais de 180. Qual  a sua medida? 

<219>
<P>
8. (Saresp) Pedimos a 200 pessoas que escolhessem, dentre quatro opes, um lugar no qual desejariam passar frias e, aps organizar as respostas, chegamos  seguinte concluso: 
  60 escolheram ir para o 
  Pantanal; 
  50 escolheram passar as frias no Rio de Janeiro; 
  40 desejaram ir para Foz do Iguau;
  as demais preferiram as praias de Ubatuba. 
  Em qual das alternativas h um grfico de setores circulares _`[no adaptado_`] que representa corretamente os resultados obtidos nessa pesquisa? 
 9. Veja quais so as maiores bibliotecas do mundo em acervo de livros: 
<P>
_`[{tabela adaptada "As cinco maiores bibliotecas do mundo", formada por trs colunas_`]

<F->
  1 coluna: biblioteca
  2 coluna: cidade
  3 coluna: nmero de volumes `(em milhes`)

B. do        lWashington l 23
Congresso    l            l
::::::::::::::r::::::::::::r::::::
B. Nacional lPequim     l 16
da  China    l            l
::::::::::::::r::::::::::::r::::::
B. Nacional lOttawa     l 14,5 
do Canad    l            l
::::::::::::::r::::::::::::r::::::
B. Alem    lFrankfurt  l 14,4
::::::::::::::r::::::::::::r::::::
Biblioteca   lLondres    l 13
Britnica    l            l 
<F+>

*Veja*. So Paulo: Abril, 26 abr. 2000. p. 92. 
<P>
  Faa um grfico de colunas para representar os dados da tabela. No eixo horizontal, escreva os nomes das bibliotecas; no vertical, faa uma escala para representar o nmero de livros de cada biblioteca. 
  Sugesto: cada centmetro pode representar 5 milhes.

10. Estatsticas divulgadas pelas Naes Unidas mostram que grande parte da humanidade tinha srios problemas no incio do sculo XXI: 
  trs quintos das pessoas no dispunham de saneamento bsico (esgotos ou fossas spticas); 
  um tero das pessoas no dispunham de gua tratada para beber. 
  Para responder s questes, considere que as pessoas sem acesso a gua tratada fazem parte do grupo dos que no tm saneamento bsico. 
 a) Qual a porcentagem do total da populao sem acesso a saneamento bsico? 
 b) Qual a porcentagem do total que, alm de no dispor de saneamento bsico, tambm no dispunha de gua tratada para beber? 
 c) Mostre, em um grfico de setores, a situao da humanidade em relao ao saneamento. Divida a populao mundial em trs grupos: o dos que tm saneamento bsico, o dos que no tm e o dos que no tm e, alm disso, no dispem de gua tratada para beber. 
 d) Por que  ruim, em termos de sade, no dispor de saneamento bsico ou de gua tratada para beber?

11. (Saresp) Uma escola tem 500 alunos, sendo que: 
  trs quintos dos alunos so do sexo feminino; 
  trs quartos dos meninos praticam algum esporte;
  metade das meninas no pratica nenhum esporte. 
  Qual das alternativas seguintes apresenta uma tabela em que essas informaes esto expressas corretamente? 

_`[{tabalas adaptadas_`]

<F->
a) Praticam esporte
      meninos: 100
      meninas: 200
      total: 300
    No praticam esporte
      meninos: 100
      meninas: 100
      total: 200
    Total
      meninos: 200   
      meninas: 300
      total: 500   
b) Praticam esporte
      meninos: 150
      meninas: 150
      total: 300
    No praticam esporte
      meninos: 100
      meninas: 100
      total: 200
<P>
    Total
      meninos: 250
      meninas: 250
      total: 500
c) Praticam esporte
      meninos: 150
      meninas: 150
      total: 300
    No praticam esporte
      meninos: 50
      meninas: 150
      total: 200
    Total
      meninos: 200
      meninas: 300
      total: 500
d) Praticam esporte
      meninos: 200
      meninas: 100
      total: 300
    No praticam esporte
      meninos: 100
      meninas: 100
      total: 200
<P>
    Total
      meninos: 300
      meninas: 200
      total: 500  
<F+>

<220>
12. Observe o grfico e faa o que se pede.

_`[{grfico adaptado "Hbitos saudveis e longevidade" -- O peso dos fatores que fazem uma pessoa viver alm dos 65 anos. Grfico circular dividido em quatro partes de cores e tamanhos diferentes. Contedo a seguir_`]

<F->
  Estilo de vida -- 53%  
  Meio ambiente -- 20%
  Gentica -- 17%
  Assistncia mdica -- 10%
<F+>

*Veja*. So Paulo: Abril, 
  ano 34, n.o 12. Sua Sade. 
  p. 15. 

a) Informe: o ttulo do grfico, a fonte dos dados e a forma do grfico que representa os dados. 
 b) De acordo com essa pesquisa, qual o fator que mais contribui para a longevidade? Qual o ngulo utilizado para o setor respectivo? 
 c) Calcule mentalmente a medida dos ngulos correspondentes aos percentuais de 10% e 20%. 
 d) Segundo os dados da pesquisa, qual o percentual relativo ao meio ambiente como contribuio para a longevidade? 
 e) Cite um hbito que voc considere saudvel e outro que seja negativo. 

Desafios e surpresas

1. Dizem que usar estatstica  uma boa maneira de iludir as pessoas, porque todos acreditam cegamente em nmeros e grficos. Em um Exame Nacional do Ensino Mdio (Enem), os examinadores apresentaram uma questo para verificar se os estudantes poderiam ser iludidos por grficos. Vamos mostrar a questo: Um poltico criticava uma companhia telefnica, alegando que a empresa estava fazendo pouqussimas instalaes de linhas novas. Para "provar" seu ponto de vista, apresentou este grfico _`[no adaptado_`]. 
  A companhia no aceitou a crtica e, para "provar" que fazia muitas instalaes, apresentou este outro grfico _`[no adaptado_`]. 
  E agora, qual grfico  correto? Quem est certo, o poltico ou a companhia? Escreva sua opinio a respeito. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<221>
Ao sobre Estatstica 

Grficos do dia a dia 

  Esta Ao deve ser organizada com antecedncia, pois cada aluno dever trazer recortados de casa vrios grficos retirados de jornais ou revistas. 
  Ateno! Ao recortar o grfico, deve-se tomar o cuidado de no se esquecer de anotar o jornal (ou revista) de onde ele foi tirado, bem como o nmero da revista ou o nome do caderno, ms, ano e nmero da pgina. 
  A seguir, devem ser formados grupos, cada um com seus grficos. 
  Cada grupo dever separar o material em grficos de setores, de barras, de colunas e de segmentos. 
  O grupo montar um jornal com cartolina dividido em trs partes. Em cada parte sero colados os grficos previamente separados. Podem-se usar cartolinas de cores diferentes para variados tipos de grficos. 
  Nas pginas desse grande jornal, o grupo escrever, ao lado de cada grfico, uma notcia, seguindo as informaes relatadas pela pesquisa. 
  Na aula seguinte, todos os alunos tero oportunidade de ler os jornais confeccionados pelos grupos. Um mesmo grfico poder ser interpretado de maneiras distintas por grupos diferentes que o tenham selecionado. 
  Sugerimos que os jornais sejam colocados em exposio para que os alunos de outras classes possam l-los. 

               ::::::::::::::::::::::::

<222>
2- Variveis e frequncias

  Diversas pesquisas estatsticas so realizadas para investigar caractersticas de uma populao. Essa populao pode ser um conjunto de pessoas, mas tambm pode ser um conjunto de objetos. Normalmente, no se estuda a populao toda, mas apenas alguns de seus elementos, os quais constituem uma amostra. Quanto s caractersticas estudadas, elas podem ser muito variadas. 
<P>
Exemplo 

  Uma fbrica de pilhas eltricas deseja pesquisar a eficincia de seu produto. Temos ento: 
<R+>
  populao: pilhas eltricas produzidas por uma fbrica em certo dia; 
  caracterstica investigada: 
  durao mdia dessas pilhas quando usadas em uma lanterna; 
  amostra: 100 pilhas, escolhidas ao acaso, da produo diria. (Note que seria um desperdcio colocar todas as pilhas produzidas naquele dia em lanternas ligadas.) 
<R->

Variveis estatsticas 

  As caractersticas da populao que so investigadas chamam-se variveis, porque podem ter valores diversos. Essas variveis podem ser quantitativas, quando os valores so nmeros, ou qualitativas, quando os valores so atributos ou qualidades. (Pode parecer estranho chamar os atributos de valores, mas essa linguagem ajuda a esclarecer o assunto, como veremos adiante.) 

<223>
Exemplos 

<R+>
1. Para saber a opinio dos eleitores de uma cidade sobre uma nova lei, pode-se fazer uma pesquisa estatstica. Uma amostra de 300 adultos, representando todos os bairros da cidade,  entrevistada, respondendo se aprovam, no aprovam ou desconhecem a nova lei. 
  Nesse caso, a varivel  qualitativa, pois se trata da opinio das pessoas. Seus "valores" ou atributos so sim, no e no sei. 
 2. Uma fbrica de sandlias precisa conhecer quais os nmeros de calados mais procurados pelas mulheres de uma regio do pas para orientar sua produo. Obviamente, os nmeros mais frequentes sero produzidos em maior quantidade. Para atender  fbrica, faz-se uma pesquisa com 200 mulheres a fim de descobrir que nmero elas calam. 
  Temos a varivel nmero de sapato, que  quantitativa, pois seus valores so nmeros (de 34 a 41, em geral). 
<R->

Frequncias 

  Em muitas pesquisas estatsticas, entre as quais todas as que foram apresentadas nos exemplos anteriores, deve-se examinar quantas vezes ocorre cada valor da varivel. 

  Frequncia ou frequncia absoluta de um valor  o nmero de vezes que ele ocorre. Se a frequncia  expressa por uma porcentagem, ela  chamada de frequncia relativa. 

<224>
<P>
Exemplo 

  A tabela mostra o que ocorreu na eleio do representante dos alunos do 1 ano do Ensino 
 Mdio em uma escola. 

<R+>
_`[{tabela adaptada, formada por trs colunas; contedo a seguir_`]

<F->
  1 coluna: Nome do candidato
  2 coluna: Votos de cada candidato -- Frequncia
  3 coluna: Votos de cada candidato -- Frequncia relativa

  1      l 2 l 3
  :::::::::r:::::r:::::::
  Jos    l 16 l 40%
  Lus    l 4  l 10%
  Mariana l 12 l 30%
  Lgia   l 8  l 20%
  Total   l 40 l 100%
<F+>
<R->

  A eleio pode ser considerada uma pesquisa estatstica (mas no uma pesquisa por amostragem, porque a populao inteira foi consultada). 
  Nesse caso, temos: 
<R+>
  varivel qualitativa: nome do candidato; 
  valores ou categorias da varivel: Jos, Lus, Mariana, Lgia; 
  frequncia de cada valor: o nmero de votos de cada candidato, o qual equivale ao nmero de vezes que seu nome apareceu na votao; 
  frequncia relativa de cada 
  valor: a porcentagem dos votos de cada candidato em relao ao total. 
<R->
  Observao: em muitas pesquisas, o que consideramos varivel depende de nossa prpria interpretao. No exemplo dado,  possvel imaginar diversas variveis: nmero de votos de Jos, nmero de votos de Lus etc. Seriam variveis quantitativas, com valores entre 0 e 40; entretanto, casos como esse, de interpretao mais complicada, no sero discutidos no 9 ano. 

<225>
Atividades

<R+>
13. (Saresp) Aps medir a altura de cada um dos 27 alunos de uma turma, o professor resumiu os resultados obtidos em 5 classes, cujas frequncias esto na tabela a seguir.  correto afirmar que: 

<F->
  altura `(m`)    l frequncia
  ::::::::::::::r:::::::::::
  1,52 a 1,55 l 7
  1,56 a 1,59 l 9
  1,60 a 1,63 l 5
  1,64 a 1,67 l 4
  1,68 a 1,72 l 2
<F+>

a) 7 alunos tm altura entre 1,60 m e 1,63 m. 
 b) 16 alunos tm altura menor que 1,60 m. 
 c) 4 alunos tm altura entre 1,60 m e 1,63 m. 
<P>
 d) 5 alunos tm altura entre 1,68 m e 1,72 m. 

14. Uma rede de escolas de ingls desejava saber qual a idade mais frequente entre seus alunos jovens. Uma amostra desses alunos jovens foi entrevistada e obteve-se o grfico a seguir:
 
<F->
Legenda:
  x: idade `(anos`)
  y: nmero de alunos

      y
      l
  23 v--------
      l      
  20 pcccccccc
      l        
      l        
  10 pcc       
      l      
   5 r::::::::==
   2 v------------
      v------------ x
        16 17 18 19 20
<F+>
 
a) A varivel "idade dos alunos jovens"  quantitativa ou qualitativa? 
 b) Qual a frequncia do valor 17? 
 c) Quantos elementos tinha a amostra?

15. (FGV-SP) No grfico a seguir est representado, no eixo das abscissas _`[eixo horizontal_`], o nmero de fitas de vdeo alugadas por semana numa videolocadora, e, no eixo das ordenadas _`[eixo vertical_`], a correspondente frequncia (isto , a quantidade de pessoas que alugaram o correspondente nmero de fitas): 
<P>

<F->
      l
  25 pcccccc
  20 pcccccccc
  15 pcccccccccc
  10 pcc       
  5  v----------------
      l            
      h::gg::gg::gg::gg::gg::gg:> 
         1  2  3  4  5  6
<F+>

a) Qual a porcentagem de pessoas que alugaram 4 ou mais fitas? 
 b) Se cada fita  alugada por R$4,00, qual a receita semanal da videolocadora? 

_`[{um menino fala: "Ah! Isto eu j sei: Em vez de escrever $"Nmero de alunos$", no grfico, eu posso escrever $"frequncia$"!"_`]

<226>
16. H alguns anos foi publicada uma pesquisa sobre um problema tpico dos adolescentes brasi-
<P>
  leiros: a gravidez precoce. Veja alguns nmeros e concluses da pesquisa: 

  Falta maturidade 

  Ser bem informado sobre sexo no significa necessariamente fazer tudo certo. 
<R->

  Apenas... 

<R+>
 ... 33% dos jovens entre 12 e 21 anos usam camisinha sempre que mantm relaes sexuais. 

  Mais de... 

 ... 20% das garotas brasileiras entre 13 e 19 anos j enfrentaram uma gravidez. Na 
  Holanda, pas conhecido pelo comportamento liberal, esse ndice  inferior a 1%. 
  O nmero de partos de garotas entre 10 e 14 anos atendidas pelo Sistema nico de Sade 
<P>
  (SUS) entre 1994 e 2000 subiu 18%. 

*Veja*. So Paulo: Abril, 
  n.o 38, 9/1. Jovens. p. 25. 

  Esses resultados mostram que pesquisas estatsticas podem ser importantes para muita gente, incluindo meninos ou meninas da sua idade. Escreva trs ou quatro linhas justificando essa importncia.

Pensando em casa

17. Foi realizada uma pesquisa para determinar a durao das pilhas produzidas por uma fbrica. A amostra tinha 100 pilhas, as quais foram colocadas em rdios iguais, e verificou-se por quanto tempo os rdios funcionavam. Os resultados foram os seguintes: 

_`[{tabela adaptada, formada por duas colunas; contedo a seguir_`]

<F->
  1 coluna: tempo de durao
  2 coluna: nmero de pilhas

  1             l 2
  ::::::::::::::::r::::
  0 a 2  horas  l 4
  2 a 4  horas  l 30
  4 a 6  horas  l 38
  6 a 8  horas  l 22
  8 a 10 horas  l 6
<F+>

a) Qual  a varivel pesquisada? Ela  qualitativa ou quantitativa? 
 b) Os valores de maior frequncia da varivel pertencem a qual intervalo de tempo? 
 c)  correto afirmar que mais de 70% dessas pilhas duram menos do que 6 horas?

18. Nas pesquisas estatsticas bem feitas, com amostras escolhidas adequadamente, as frequncias relativas obtidas na amostra valem para a populao toda, de maneira bastante aproximada. Suponha que a pesquisa da questo 17 tenha sido bem feita e que a fbrica produza 180.000 pilhas por ms. Quantas dessas pilhas devem durar 8 horas ou mais? 

<227>
19. (Enem -- adaptada) Uma pesquisa de opinio foi realizada para avaliar os nveis de audincia de alguns canais de televiso, entre 20 h e 21 h, em certa noite. Os resultados esto representados a seguir: 

<F->
_`[{grfico adaptado_`]
Legenda:
  x: nmero de residncias
  y: canais de televiso
  A: TvA
  B: TvB
  C: TvC
  D: TvD
  E: nenhum canal

     y
     l
100 r::::::::::::::==::::::
     l              
80  r::::::::::::::::::::
     l              
60  r::::::::::::::::::::
     l              
40  r::::::::::::::::::::
     l  ==  --      
20  r::::::==::::::::
     l          ==
0   h::gg::gg::gg::gg::gg::::> x
        A  B  C  D  E 
<F+>

a) Quantas residncias, aproximadamente, foram atingidas pela pesquisa? 
 b) Qual a frequncia relativa das residncias em que se assistia  TvB? 
 c) Se na cidade em que foi realizada a pesquisa havia cerca de 50.000 televisores em residncias, quantos deles estariam ligados na TvD?
<P>
20. O grfico _`[no adaptado_`] mostra a frequncia absoluta das notas obtidas pelos estudantes que prestaram um exame para ingresso em certa universidade. Em outras palavras, para cada valor da nota `(de 0 a 30`), o grfico mostra quantos estudantes obtiveram aquela nota. 
  Em relao aos dados do grfico, determine as sentenas verdadeiras: 
 I. A nota de maior frequncia foi 15. 
 II. Houve zero nota abaixo de 3. 
 III. Mais de 1.200 estudantes obtiveram notas variando de 13 a 20. 
 IV. Menos de 50 estudantes obtiveram nota superior a 25. 
 V. O nmero de estudantes que prestaram o exame  inferior a 1.000. 
<P>
 VI. Nenhum estudante obteve 
  nota mxima.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<228>
21. Pesquisas estatsticas podem determinar a probabilidade ou chance de um evento ocorrer. Voc far uma pequena experincia sobre isso. Pegue um dado, lance-o 30 vezes e anote quantos pontos foram obtidos de cada vez. (Na falta de dado, faa papeizinhos iguais, numerados de 1 a 6. Pea a algum que sorteie sem ver o papelzinho e anote o resultado. Recoloque o papelzinho sorteado no monte e repita 29 vezes o procedimento.) 
 a) Faa uma tabela de frequncias absoluta e relativa de cada resultado. 
 b) A probabilidade terica de o resultado ser 5 (pontos) deveria ser 16^=16%, porque todos os nmeros tm chances iguais de ser sorteados. O seu experimento confirma a teoria? Se no, qual seria o motivo? 

Desafios e surpresas 

2. (Enem -- 1999) Imagine uma eleio envolvendo 3 candidatos -- A, B, C -- e 33 eleitores (votantes). Cada eleitor vota fazendo uma ordenao dos trs candidatos. Os resultados so os seguintes: 

<F->
  ordenao      l n.o de votantes
 ::::::::::::::::r::::::::::::::::
  {a{b{c         l 10 
  {a{c{b         l 4
  {b{a{c         l 2
  {b{c{a         l 7
  {c{a{b         l 3
  {c{b{a         l 7
  t. de votantes l 33
<F+>
<P>
  A primeira linha do quadro descreve que 10 eleitores escolheram A em 1 lugar, B em 2 lugar, C em 3 lugar e assim por diante. 
  Considere o sistema de eleio no qual cada candidato ganha 3 pontos quando  escolhido em 1 lugar, 2 pontos quando  escolhido em 2 lugar e 1 ponto se  escolhido em 3 lugar. O candidato que acumular mais pontos  eleito. Nesse caso: 
 a) A  eleito com 66 pontos. 
 b) A  eleito com 68 pontos. 
 c) B  eleito com 68 pontos. 
 d) B  eleito com 70 pontos. 
 e) C  eleito com 68 pontos. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<229>
3- Mdia aritmtica, mediana 
  e moda 

  Imagine que, num almoo, um rapaz comeu 4 hambrgueres e seu amigo, nenhum. 
  Em mdia, cada um comeu 2 hambrgueres. No entanto, essa mdia, que  a mdia aritmtica, no retrata muito bem a situao. Se a mdia foi 2 hambrgueres por pessoa, por que uma delas est morta de fome? 
  Por motivos como esse, a Estatstica usa trs mdias diferentes, ou melhor, trs medidas de tendncia central: a mdia aritmtica, a mediana e a moda. 

Mdia aritmtica 

  Mdia aritmtica  a soma de todos os valores numricos obtidos dividida pelo nmero deles. 

Exemplo 

  Foi feita uma pesquisa no 9 ano A para saber o nmero de irmos de cada aluno. Veja a tabela a seguir. 
<P>
<R+>
_`[{tabela adaptada, formada por 2 colunas; contedo a seguir_`]

  1 coluna: nmero de irmos
  2 coluna: frequncia
<R->

<F->
  1 l 2
  ::::r::::
  0  l 7
  1  l 11
  2  l 8
  3  l 7
  4  l 2
<F+>

  Observe que 7 alunos no tm irmos, 11 s tm 1 irmo etc. 
  A mdia aritmtica  a soma dos irmos dividida pela quantidade dos alunos. 

Ma=?7"0+11"1+8"2+7"3+
  +2"4*~?7+11+8+7+2*
 Ma=?0+11+16+21+8*~35=
  =5635=1,6

  Veja como a mdia  abstrata: ningum pode ter 1,6 irmo! 
  Observe tambm como a mdia resume os dados numricos obtidos. Em vez de dizer que 7 alunos no tm irmos, 11 tm 1 irmo, 8 tm 2 etc., podemos dizer que cada um tem 1,6 irmo. Nesse caso, o total de irmos no muda, porque 35"1,6=56. 

<230>
Mediana 

  Mediana  o valor central de uma sequncia de valores em ordem crescente. Se no houver um nico valor central, a mediana  a mdia aritmtica dos dois valores centrais. 

  Por exemplo: no conjunto de valores 3, 33, 333, a mediana  33. No conjunto de valores 1, 10, 100, 1.000, a mediana  ?10+100*2=55. 
  No exemplo do nmero de irmos do 9 ano A, o nmero de irmos do 18 aluno  a mediana, porque a turma tem 35 alunos. 
   mais fcil determinar a mediana quando temos uma tabela de frequncia acumulada. A frequncia acumulada de um valor  a sua frequncia somada com as frequncias dos valores anteriores. Veja a seguir. 

<R+>
_`[{tabela adaptada, formada por trs colunas; contedo a seguir_`]

  1 coluna: nmero de irmos
  2 coluna: frequncia
  3 coluna: frequncia acumulada
<R->

<F->
  1 l 2 l 3
  ::::r:::::r:::::::::::
  0  l 7  l 7
  1  l 11 l 7+11=18
  2  l 8  l 18+8=26
  3  l 7  l 26+7=33
  4  l 2  l 33+2=35
<F+>

  Note que h 17 alunos com 1 irmo ou menos e tambm h 17 alunos com 2 irmos ou mais.  por isso que a mediana  uma espcie de mdia: est no meio dos valores. Como o 18 aluno tem 1 irmo, a mediana  1.

Moda 

  Moda  um termo que voc j conhece. Moda  o que se usa mais, o que est em evidncia. O sentido da palavra em Estatstica  parecido. 

  Moda  o valor de maior frequncia. 

  No caso do nmero de irmos do 9 ano A, o valor que aparece com maior frequncia  1. Portanto, a moda  ter 1 irmo. 

<231>
Atividades

<R+>
22. A produo mdia das 7 padarias do meu bairro  de 40,8 quilos de po por dia. Qual  a produo diria total das 7 padarias?

23. Numa classe de 35 alunos, as notas obtidas foram: 

<F->
  Notas l n.o de alunos
  :::::::r::::::::::::::
   2    l 1
   3    l 4
   4    l 5
   5    l 5
   6    l 5
   7    l 8
   8    l 4
   9    l 2
   10   l 1
<F+>

  Calcule: 
 a) a nota mdia; 
 b) a nota mediana; 
 c) a nota modal.

24. A tabela de frequncias 
  mostra os salrios pagos aos 
  25 funcionrios da empresa FAZTUDO: 
<P>
_`[{tabela adaptada "Salrio dos empregados da FAZTUDO", formada por duas colunas_`]

  1 coluna: salrio em R$
  2 coluna: nmero de funcionrios

<F->
  1    l 2
  :::::::r::::
  300   l 15
  350   l 7
  500   l 2
  3.000 l 1
<F+>

  Responda: 
 a) Qual  o salrio mdio? 
 b) Qual  o salrio mediano? 
 c) Qual  a moda dessa distribuio? 
 d) O que voc acha dessa distribuio de frequncia?
<P>
25. Volte  questo 20 deste captulo. Examine o grfico 
  _`[no adaptado_`] e determine a nota modal.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Pensando em casa 

26. Faa uma pesquisa com os alunos de sua classe para saber o nmero de animais domsticos de cada um. Com base nos 
  dados de sua pesquisa, construa uma tabela de frequncias e 
  determine: 
 a) a mdia; 
 b) a mediana; 
 c) a moda. 

<232>
27. Numa avaliao de Arte, a mdia da classe foi 8,5 e a mediana, 5. Se considerarmos um aluno ao acaso,  mais provvel que sua nota esteja acima ou abaixo de 8? Por qu?
 28. Determine a mdia aritmtica, a mediana e a moda da seguinte distribuio: 

<F->
  valores l quantidades
  ::::::::r::::::::::::
   10    l 2
   12    l 8
   18    l 5
   20    l 3
<F+>

29. Volte  questo 17 deste captulo. Determine o tempo de durao mdio das pilhas da amostra. 
  Ateno: como voc s conhece o intervalo de durao, e no a durao exata de cada uma, considere que a durao  o "meio" do intervalo. Por exemplo, para uma durao entre 4 horas e 6 horas, use o valor 5 horas. 
 30. Pesquisas indicam que, em certa cidade brasileira, o nmero do sapato masculino mais comum  40 e a mdia dos nmeros de sapato  39. 
  Nessa cidade, uma sapataria deve ter em estoque mais sapatos com nmero 39 ou mais sapatos com nmero 40? 

Desafios e surpresas

3. O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE) pesquisa os mais diversos aspectos da populao brasileira. Recentemente o IBGE divulgou os seguintes dados sobre casamentos: 

  De forma geral, homens e mulheres esto casando mais tarde. 
  A idade mdia de casamento das mulheres passou de 24,2 anos para 27 anos entre 1994 e 2004. Entre os homens, de 28,1 anos para 30,4 anos no mesmo perodo. Em relao a 2003, houve um aumento de 88% do nmero de cnjuges abaixo dos 20 anos, com uma participao de 18,8%. Os idosos com mais de 60 anos foram responsveis por 3,8%, mais do que o dobro do ano anterior. 

*Folha online*, So Paulo, 
  16 dez. 2005. 

  De acordo com esses dados, apenas duas das sentenas a seguir so verdadeiras. Determine-as. 
 I. Em 2004, todos os homens se casavam por volta dos 30 anos. 
 II. Em 1980, as mulheres se casavam com 24,2 anos em mdia. 
 III. Em 2004, 88% das pessoas que casaram tinham menos de 20 anos. 
 IV. Em 2004, homens e mulheres estavam se casando mais velhos do que em 1994. 
 V. Em 2004, quase 4% das pessoas que se casaram tinham mais de 60 anos. 

4. Vamos indicar por 1 o nascimento de um menino e por 0 o nascimento de uma menina. Considere todos os nascimentos ocorridos no Brasil no ano passado. Baseando-se apenas em sua intuio, voc acha que: 
 a) a mdia aritmtica dos valores obtidos  1,0 ou 0,5? Ou ser 0,51? 
  Ajuda: seria 0,5 se o nmero de meninos nascidos fosse igual ao nmero de meninas nascidas. 
 b) a moda desses valores  1 
  ou 0? 

5. Se fizermos um recenseamento da populao toda do Brasil, indicando por 1 cada pessoa do sexo masculino e por 0 cada pessoa do sexo feminino, voc acha que: 
 a) a mdia aritmtica dos valo-
  res obtidos  1,0 ou 0,5? Ou seria 0,49? 
 b) a moda desses valores  1 
  ou 0?
<R->

               oooooooooooo

<233>
<P>
Captulo 8 -- Complementos de 
  lgebra

<234>
1- Equaes fracionrias

  Ao longo dos ltimos anos voc aprendeu vrios tpicos de lgebra, concentrando-se em clculos variados (incluindo fatorao) e resoluo de equaes e sistemas de equaes. Aqui vamos tratar de um tipo mais complexo de equao: as fracionrias.
  Equao fracionria  toda equao que apresenta pelo menos uma frao algbrica. Isto , em algum termo da equao a incgnita (ou varivel) aparece no denominador.

Exemplos

<R+>
1. Vamos resolver a equao 
  fracionria: ?2x-1*4+1x=
  =?3x-1*6.
  Comeamos reduzindo as fraes a um denominador comum.
  Como mmc(4, 6)=12, o menor denominador comum dos termos da equao  12x. ?3x(2x-1)+
  +12'1*12x=?2x`(3x-
  -1`)*12x.
  Multiplicando os dois membros por 12x, os denominadores so eliminados e chegamos a 3x(2x-1)+12=2x(3x-1).
  6x2-3x+12=6x2-2x
  -3x+12=-2x
  -x=-12
  x=12.

  Ateno!

  Os denominadores das fraes da equao no podem ser nulos. Devemos ter, portanto, 12x=0. Como x=12 no anula os denominadores, conclumos: S=~l12_,.
  A ltima sentena indica que o conjunto das solues da equao, isto , o conjunto S, tem um s elemento: 12.
<P>
2. Vamos resolver a equao fracionria: 1+2?x-2*=?x2+
  +4*?x2-4*.
  Os denominadores so x-2 e x2-4. Fatorando esse ltimo, os denominadores ficam x-2 e `(x+2)`(x-2).
  O mmc entre essas duas expresses  `(x+2)`(x-2) e esse ser o denominador comum.
  Acompanhe: ?`(x+2`)`(x-2`)+
  +2`(x+2`)*?`(x+2`)`(x-2`)*=
  =?x2+4*?`(x+2`)`(x-2`)*.
  Multiplicando os dois membros por `(x+2)`(x-2), vem:
  `(x+2`)`(x-2`)+2`(x+2`)=x2+4
  x2-4+2x+4=x2+4
  2x=4
  x=2.

  Ateno!

  De novo  preciso lembrar que os denominadores no podem se anular. O denominador comum `(x+2`)`(x-2`) se anula para x=2 ou x=-2. Por exemplo, se x=2, temos `(2+2`)`(2-2`)=4"0=0.
  Portanto, 2 no  soluo da equao. Logo: S=_j.
  A sentena anterior indica que o conjunto das solues da equao no tem elementos, ou seja,  vazio.
 3. Equaes fracionrias tambm podem surgir em sistemas de equaes. Vamos resolver: 2+3y2?x-1*=12?x-1* e y2=5-x.
  Simplificando a primeira equao, obtemos:
  2`(x-1`)+3y2=12
  2x-2-3y2=12.
  Como a segunda equao informa que y2=5-x, substitumos esse valor na primeira:
  2x+3`(5-x`)=14
  2x-3x=14-15
  -x=-1
  x=1.
  Agora, reparamos que no adianta prosseguir. De acordo com a primeira equao, devemos ter x=1, porque um dos denomina-
<P>
  dores  x-1. Como obtivemos x=1, conclumos: S=_j.

<236>
Atividades

1. Resolva a equao fracionria: 1x+112=215

2. Considere a equao: 1?x-1*+2?x-2*=
  =2?`(x-1`)`(x-2`)*.
 a) Substitua *x* pelo nmero 3. Faa os clculos e diga se o primeiro membro fica igual ao segundo.
 b) O nmero 3  soluo dessa equao?
 c) Substitua *x* pelo nmero 2. O que acontece?
 d) Verifique se o nmero 2 pode ser soluo dessa equao.
 e) Resolva a equao e d seu conjunto soluo.
<P>
3. Voc j sabe resolver equaes por meio da multiplicao em cruz. Faa isso para resolver a equao: ?x+2*?x-3*=
  =?x-6*?x-7*.
 4. Uma piscina pode ser abastecida de gua por meio de duas torneiras. A primeira sozinha pode ench-la em 3 horas, e a segunda, com uma vazo menor, leva 6 horas para ench-la.
  Se abertas juntas, quanto tempo levaro para encher a piscina?
  Sugesto:
  A primeira torneira em uma hora enche 13 da piscina e a segunda, 16. Em uma hora, as duas juntas enchem 13+16 da piscina.
  Pensando de outro modo, podemos dizer que, juntas, elas levam *x* horas. Isso quer dizer que, em uma hora, elas enchem 1x da piscina.
  Agora, voc pode escrever uma equao...
<P>
5. Encontre o conjunto soluo das equaes fracionrias.
 a) ?x+1*?x-1*-2?x-1*=
  =?x-1*?x+1*
 b) 2x-3?x+7*=15?x2+7x*
 c) 2?x+2*+2?x-2*=
  =x?x2-4*

6. Resolva o sistema de equaes 1x+2y=6 e 3x+5y=14.

Pensando em casa

7. Adicionando-se um mesmo nmero *x* a ambos os termos da frao 13, obtm-se uma frao equivalente a 23. Veja: ?1+x*?3+x*=23. Qual  
  esse nmero *x*?
 8. Mostre, resolvendo a equao, que no existe nenhum nmero real *x* que torne vlida a igualdade: 15+1?x-1*=
  =1?x+1*.
<237>
<P>
 9. Mariana resolveu, em seu caderno, a equao x+1?x-1*=
  =x2?x-1*.
  x+1?x-1*=x2?x-1*
  x"`(x-1`)+1?x-1*"`(x-1`)=
  =x2?x-1*"`(x-1`)
  x2-x+1=x2
  -x=-1
  x=1.
  Agora responda: x=1 pode ser soluo dessa equao? Por qu?
 10. Use a multiplicao em cruz para resolver a equao: x2?x-2*=x+3.

_`[{um professor diz: "Note que x+3  o mesmo que ?x+3*1"_`]

11. Existe um nico valor real que, atribudo a *x*, torna a diferena ?x+2*x-6x2 igual 
  a 1. Qual  esse valor?

12. Resolva as equaes:
 a) 4x=x9
 b) 1?3x-3*+1?2x+2*=
  =4?x2-1*
<P>
 c) ?2x+2*?2x2+x*-
  -x?2x+1*=1x

13. Resolva o sistema de equaes 2+3y?x-1*=-6?x-1* 
  e 3x2y-2=112y
 14. Certo dia, em um restaurante, os *x* garons dividiram 120 reais em gorjetas e cada um recebeu 120x. No dia seguinte, faltaram 2 garons e eles dividiram 72 reais em gorjetas, cabendo 72?x-2* a cada um. Por coincidncia, nos dois dias, cada garom recebeu a mesma quantia. Qual  o valor de *x*?

Desafios e surpresas

1. Certa expresso algbrica, quando dividida por *x*, d o mesmo resultado que ao ser somada com *x*. Descubra que expresso  essa.
<P>
  Sugesto:
  Chame a expresso de E e 
  resolva uma equao de 
  incgnita E.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<238>
2- Problemas

A velocidade do barco

  Vamos comear por uma situao-problema em cuja resoluo usamos uma equao fracionria.
  Um barco a motor, em guas sem correnteza, tem sempre a mesma velocidade: *v* km/h. Esse barco foi colocado em um rio com forte correnteza (a velocidade das guas era de 5 km/h), subiu 1 km rio acima e voltou ao ponto de partida.
  Na ida, por navegar contra a correnteza, o barco foi  velocidade de `(v-5`) km/h; na volta, com a ajuda da correnteza, veio a `(v+5`) km/h. A viagem de ida e volta levou 35 minutos.
  Qual  a velocidade *v* desse barco?
  Na viagem rio acima, temos:

v-5"t1=1
  v=velocidade
  t1=tempo de subida
  1=distncia

  Portanto, t1=1?v-5*.
  Da mesma forma, rio abaixo, 
 temos: `(v+5)"t2=1.
  Portanto, t2=1?v+5*.
  A viagem de ida e volta levou 35 minutos, ou seja, 3560 de hora.
  Logo, t1+t2=3560=712.
  Da vem esta equao: 1?v-5*+1?v+5*=712.
  Esta  uma equao fracionria que vai resultar numa equao do 2 grau.
<239>
  Podemos resolv-la multi-
 plicando os dois membros por 12`(v+5`)`(v-5`), que  o menor mltiplo comum `(ou mmc`) dos denominadores. Na multiplicao, os denominadores sero cancelados.
  Por exemplo, o termo 1?v-5* multiplicado por 12`(v+5`)`(v-5`) resulta em 12`(v+5`). Com os outros termos ocorre algo parecido e chegamos a esta equao:

 12`(v+5`)+12`(v-5`)=7`(v-5`)`(v+5`)
 12v+60+12v-60=7v2-175.

  Portanto, temos 7v2-24v-
 -175=0.
  Resolvendo essa equao do 2 grau, comprovamos que as razes so 7 e -5014.
  Como o valor -5014 no serve, conclumos que a velocidade do barco  de 7 km/h.

Um quebra-cabea com idades

  A razo entre a idade de um filho e a de seu pai  1 para 4. H quatro anos, essa razo era 1 para 8. Qual  a idade de cada um?
  Chamamos de *x* a idade do 
 filho e de *y* a idade do pai. 
 A primeira sentena do problema nos diz que xy=14. Quatro anos atrs, o filho tinha x-4 anos e o pai, y-4. Portanto, 
 a segunda sentena nos diz que ?x-4*?y-4*=18.
  Devemos ento resolver o 
 sistema xy=14 e ?x-4*?y-4*=
 =18.
  Vamos simplificar cada equao.
  Primeira equao: xy=14 
 resulta 4x=y.
  Segunda equao: ?x-4*?y-4*=
 =18 resulta 8`(x-4`)=y-4 e, finalmente, 8x-y=28.
  O sistema  de primeiro grau, mas  conveniente usar o mtodo da substituio. Colocamos o valor de *y* em funo de *x* na segunda equao:

 8x-4x=28
 x=7.

  Como y=4x, temos y=28.
  Essas solues no anulam os denominadores das equaes originais. Por isso respondemos: o filho tem 7 anos e o pai tem 28.

<240>
Atividades

<R+>
15. Fiz uma viagem de ida e volta entre duas cidades, distantes 495 km uma da outra. Na ida fui a certa velocidade, de 
  *v* km/h, mas voltei em velocidade maior: `(v+20`) km/h, isto , 20 km/h a mais que na ida. 
  A viagem de ida e volta durou 10 h. Quanto durou a ida? 

16. Em cada caso, encontre os valores de *x* que tornam verdadeiras as expresses seguintes:
 a) 1+2?x-4*=8?x`(x-4`)*
 b) 1+15?x-3*=?3x-24*?`(x-
  -2`)`(x-3`)*
 c) 4?2x+1*-3?`(x+2`)`(2x+
  +1`)*=1
 d) 2+5?x-3*=?2x2-28*?`(x-3`)`(x-5`)*
<P>
17. D o conjunto soluo desta equao: ?x+1*?x2-5x+6*+
  +2?x-3*=2.
  Sugesto:
  Fatorando x2-5x+6, temos: x2-5x+6=`(x-2`)`(x-3`).
  Ento, a equao pode ser 
  escrita assim: ?x+1*?`(x-2`)`(x-3`)*+
  +2?x-3*=2.
  O mmc dos denominadores  `(x-2`)`(x-3`). O restante  com voc.
  Resolva a equao, verifique se os valores que voc encontrou 
  para *x* no anulam os denominadores e escreva o conjunto 
  soluo.

18. Resolva as seguintes equaes:
 a) 3x?x2-7x+12*+1?x-
  -3*=2
 b) ?x+5*?x+4*-?x+8*?x2-
  -8x+12*=1
 c) 1?x-2*-3?x2-8x+12*=1
<P>
 d) 5x?x2-5x-6*-2=
  =2x?x-6*

19. Numa festa, h meninos e meninas na razo 2 para 3. Se chegarem mais 5 meninos e 5 meninas, a razo entre meninos e meninas passar a ser 3 para 4. Quantos so os meninos? E as meninas?

Pensando em casa

20. _`[{use a calculadora_`] Um dia, o garoto Nico Sendente comprou certo nmero de gomas de mascar, gastando R$25,00. No dia seguinte, quando o preo de cada goma de mascar j tinha aumentado R$1,00, ele comprou outra quantidade de gomas, gastando R$52,50. Nesses dois dias, Nico comprou 25 gomas de mascar. Quantas ele comprou no primeiro dia? E no segundo?
<P>
21 D o conjunto soluo destas equaes:
 a) x?x+4*+2?x+3*=
  =1?x2+7x+12*
 b) 1?x2-5x-6*+1?x-2*=1
 c) 1?x2-16*+1?x2-8x+
  +16*=1?x+4*
 d) 10?x2+x*+2x=1

<241>
22. Chapeuzinho Vermelho ia cantando para a casa de sua av...
  A distncia que tinha de percorrer era de 36 quilmetros. Como Chapeuzinho Vermelho demorou, o Lobo Mau chegou e nhac!, devorou a vovozinha.
  Que pena! Se Chapeuzinho Vermelho tivesse caminhado com velocidade de 1 km/h a mais, teria demorado menos 3 horas para chegar a casa de sua av, alcanando o Lobo Mau.
  Qual a velocidade mdia de Chapeuzinho Vermelho?
<P>
 23. A soma de 1 com certo nmero negativo  igual a 20 vezes o inverso desse nmero negativo. Qual  esse nmero?
 24. O retngulo menor tem 
  38 cm2 e o maior, 86 cm2. 
  Calcule *x* e *y*. `(As medidas esto indicadas em cm.`)

<F->
            *y*     1 
       !::::::::::::
       l           _ _
   *x* l           _ _
       l           _ _
       r:::::::::::j _
    5 l             _
       v-------------#
<F+>

25. O retngulo {a{b{c{d tem 120 cm2 e o retngulo {c{e{f{g tem 60 cm2.
  Observe que {b{g=7 cm e {d{e=2 cm. Qual  a rea do retngulo {c{d{h{g?
<P>

<F->
               F    E
                $:::::
                _     _ 2 cm
  A          H_     _
   !::::::::::::w:::::wD
   l            _     _
   l            _     _
   l            _     _
   l            _     _
   h::::::::::::j:::::j
  B   7 cm   G    C
<F+>

Desafios e surpresas

2. Resolva a equao: x?x2-6x+8*+1?x2-7x+
  +12*=1?x2-5x+6*.
 3. Lendo sempre o mesmo nmero de pginas por dia, terminei um livro de 420 pginas. Se eu tivesse lido 7 pginas a mais por dia, teria terminado 5 dias 
  antes. Agora me diga: em quantos dias eu li esse livro?
 4. A equao x4-13x2+36=0  chamada de biquadrada.  uma equao do 4 grau incompleta. Sua tarefa  resolv-la.
  Sugesto:
  Troque x2 por *t*. Nesse caso, voc ter x4=t2 e a equao ficar t2-13t+36=0. Encontre os valores de *t* e, depois, os de *x*.
 5. A equao x=x-2  chamada de irracional porque a incgnita *x* aparece sob um radical. Sua tarefa  resolv-la.
  Sugesto:
  Eleve ambos os membros ao quadrado, fazendo o sinal de raiz "sumir". Resolva a equao obtida e verifique se as solues encontradas so verdadeiras, porque em alguns casos elas no so!
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quinta Parte